www.MATMA.prv.pl                                                                    


Arytmetyka

- Zbiory liczbowe
- Systemy liczbowe
- Cechy podzielności
 

Planimetria

- Rodzaje kątów
- Trójkąty
- Czworokąty
 

Stereometria

- Ostrosłupy
- Graniastosłupy
- Bryły obrotowe
 

Funkcje

- Pojęcie funkcji
- Funkcja liniowa
- Funkcja kwadratowa
- Przekształcanie  
  wykresów funkcji

 

Ciągi i szeregi

- Wiadomości ogólne
- Ciąg arytmetyczny
- Ciąg geometryczny
- Szereg geometryczny
 

Inne

- Wzory skróconego 
   mnożenia

- Logarytmy
- Tożsamości
   trygonometryczne

Informacje




Pomoc

- Forum
- Programy
- Arkusze maturalne
 

Google


Własności trójkątów

   Trójkąt - figura geometryczna mająca 3 boki. Jeden z boków
                   nazywamy podstawą, a dwa pozostałe ramionami,
                   przy czym suma długości ramion musi być większa
                   od długości podstawy ( warunek trójkąta ).
                   Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180o

 
1. Podział trójkątów
 - trójkąt różnoboczny
 - trójkąt równoboczny
 - trójkąt równoramienny
 - trójkąt prostokątny
 - trójkąt ostrokątny
 - trójkąt rozwartokątny
 
2. Charakterystyczne odcinki
 - wysokość
 - środkowa
 - symetralna
 - dwusieczna
3. Twierdzenia i wzory
 - twierdzenie Pitagorasa
 - twierdzenie Talesa
 - twierdzenie o dwusiecznej
 - wzory na pole
 - wzór Herona
 - wzór na długość promienia
   okręgu wpisanego

 - wzór na długość promienia
   okręgu opisanego
 - twierdzenie sinusów
 - twierdzenie cosinusów


___________________________
Podział trójkątów


 * trójkąt różnoboczny - ma każdy bok innej długości
 * trójkąt równoboczny - ma wszystkie boki tej samej długości
 * trójkąt równoramienny - ma dwa boki tej samej długości
 * trójkąt prostokątny - jeden z jego kątów wewnętrznych jest prosty ( 90o )
 * trójkąt ostrokątny - wszystkie kąty wewnętrzny w tym trójkącie są ostre ( < 90o )
 * trójkąt rozwartokątny - jeden z jego kątów wewnętrznych jest rozwarty ( > 90o )



 

___________________________
Charakterystyczne odcinki


 * wysokość - odcinek łączący wierzchołek trójkąta z przeciwległym bokiem pod kątem prostym
                                                 
     Każdy trójkąt ma 3 wysokości ( po jednej z każdego wierzchołka ). Wysokości przecinają się
     w punkcie zwanym ortocentrum. 


 * środkowa - odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.
                                                    

    Każdy trójkąt ma 3 środkowe ( po jednej z każdego wierzchołka ). Środkowe przecinają się w
    stosunku 2:1 w punkcie zwanym środkiem ciężkości. 


 * symetralna - prosta prostopadła do boku przechodząca przez jego środek.

                                                  
    Każdy trójkąt ma 3 symetralne ( po jednej z każdego boku ). Symetralne przecinają się
    w punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. 



 * dwusieczna - prosta dzieląca kąt na 2 równe części.

                                                 

    Każdy trójkąt ma 3 dwusieczne ( po jednej z każdego kąta ). Dwusieczne przecinają się
    w punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. 




 

___________________________
Twierdzenia i wzory


 * Twierdzenie Pitagorasa

     W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi  
     długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
 




            a2 + b2 = c2


 * Twierdzenie Talesa

   
Jeżeli proste równoległe przecinają ramiona kąta, to stosunek odcinków wyznaczonych przez te
    proste na jednym z ramion kata jest równy stosunkowi odpowiednich odcinków wyznaczonych
    przez te proste na drugim ramieniu tego kąta. 
                               
  Jeżeli AC || BD, to    |OA|      |OC|          |OA|     |OC|
                                  |OB|   =  |OD| ,        |AB|  =  |CD|


           
                      |OA|      |OB|          |AC|       |BD|
                                  |OC|  =  |
OD| ,        |OA|   =   |OB|
 

                                  |BD|      |OB|    

                                  |AC|  =  |
OA|


 * Twierdzenie o dwusiecznej 

   
Dwusieczna kąta dzieli podstawę trójkąta proporcjonalnie do długości jego boków
 

        |AB|      |BD|    
        |AC|  =  |CD|



 * Wzory na pole trójkąta


   P = ( a*h ) / 2   
         gdzie: a - podstawa trójkąta,
                                                h - wysokość trójkąta opuszczona na podstawę a

   P = ( a*b*sin
a ) / 2    gdzie: a - jeden bok trójkąta
                                                b - drugi bok trójkąta
                                            a - kąt pomiędzy tymi dwoma bokami

   P = ( a*b*c ) / 4R       gdzie: a,b,c - boki trójkąta
                                                R - promień okręgu opisanego na tym trójkącie


       
Wzór Herona
gdzie: a,b,c - boki trójkąta
         p - połowa obwodu ( a + b + c ) / 2


 * wzór na długość promienia okręgu wpisanego

  r = ( 2P ) / ( a + b + c )       
 gdzie: a,b,c - boki trójkąta w który wpisany jest okrąg
                                                          P - pole trójkąta w który wpisany jest okrąg

 * wzór na długość promienia okręgu opisanego

  R = ( a + b + c ) / 4P           
gdzie: a,b,c - boki trójkąta na którym opisany jest okrąg
                                                          P - pole trójkąta na którym opisany jest okrąg



 

* Twierdzenie sinusów

  
W dowolnym trójkącie stosunek długości dowolnego boku do sinusa kąta naprzeciw tego boku
   jest stały i równy średnicy okręgu opisanego na trójkącie.

                                                    

 
* Twierdzenie cosinusów
 
  
W dowolnym trójkącie kwadrat dowolnego boku jest równy sumie kwadratów  
   pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta zawartego
   między nimi.

                                                      
a2 = b2 + c2 - 2*b*c*cos(α)